CẢM ƠN ĐỜI

Mấy giờ rồi nhỉ?

Tài nguyên dạy học

Hỗ trợ trực tuyến

  • (Nguyễn Quang Quý 0979880759)

TỔNG HỢP

Điều tra ý kiến

Bạn thấy trang này như thế nào?
Đẹp
Đơn điệu
Bình thường
Ý kiến khác

Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Thành viên trực tuyến

    0 khách và 0 thành viên

    Sắp xếp dữ liệu

    Đồng hồ cá

    đọc báo online

    Chào mừng quý vị đến với website của Nguyễn Quang Quý

    Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
    Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
    Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
    Gốc > Bài viết >

    Dạng toán tách một phân số thành tổng hai phân số cótử số là 1

    Dạng toán tách một phân số thành tổng hai phân số có tử số là 1

    Đây là một mẹo rất hay khi muốn viết một phân số bất kỳ (a,b là số tự nhiên và 0 < a < b) dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. Mẹo này tôi cũng đã tiết lộ cho học sinh của mình. Song có những bài không cần giải theo mẹo ấy mà có cách giải nhanh hơn nhiều đấy. Chúng ta cùng bàn ở bài toán sau:

    Bài toán1
    :

    Hãy viết phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau.

    a) 13/35 ;                    b) 5/12 ;                       c) 6/35

    Bài giải:

    a) 13/35 = (5 + 7 + 1)/35 = 5/35 + 7/35 + 1/35 =
    = 1/7 + 1/5 + 1/35

    b) 5/12 = (4 + 1)/12 = 4/12 + 1/12 = 1/3 + 1/12

    c) 6/35 = (5 + 1)/35 = 5/35 + 1/35 = 1/7 + 1/35


    * Lời bàn
    : Tại sao ta lại tách:13=5+7+1; 5=4+1; 6=5+1 mà không tách thành tổng các số khác? Xuất phát từ tính chất phân số: Khi nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu cho một số tự nhiên khác 0 ta được phân số có giá trị bằng phân số đã cho nên cần tách tử thành tổng các số là ước của mẫu.

    Bài toán 2
    :

    Viết phân số 5/12 thành tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau.

    * Lời bàn: Phân số đã cho có tử số là 1 vậy nó là tổng của các phân số nào có tử là 1, mẫu số khác nhau?
    Trên cơ sở phép giản phân:
    1/[a x (a +1)] = 1/a - 1/(a + 1) suy ra 1/a = 1/(a + 1) + 1/[a x (a + 1)]
    Vậy: 1/3 = 1/(3 + 1) + 1/[3 x (3 + 1)] = 1/4 + 1/12
    Như vậy nếu phân số đã cho có tử số khác 1 và mẫu số là số nguyên tố thì mới nên dùng “mẹo” như bạn đã nêu. Làm một ... biết mười. Nhưng biết mười vẫn chưa đủ. Có phải không các bạn?

     

    Tuy nhiên, cho đến một hôm, tôi cũng đã “tiết lộ” mẹo này cho học sinh của mình, nhưng khi  tôi cho bài toán:
    Tách phân số 3/10 thành tổng 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau, có bao nhiêu cách tách như thế?

    Chưa kịp nói gì thì một trò “cưng” của tôi đã nhanh tay tách:
    3/10 = (2 + 1)/10 = 2/10 + 1/10 + 1/5 + 1/10 (nhờ nhận xét 10 chỉ có 2 ước số có tổng bằng 3 là 1 và 2). Do đó chỉ có 1 cách tách duy nhất (?) Một học sinh khác sau khi mày mò rụt rè thưa: Thưa cô! Hình như còn 2 phân số 1/4 và 1/20 khi cộng lại vẫn bằng 3/10 đấy ạ! Vậy thực tế có bao nhiêu cách tách phân số 3/10 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau? Các bạn có thể thấy qua cách lập luận dưới đây.
    Giả sử: 3/10 = 1/x + 1/y (với x ≠ y và x, y khác 0)
    Do x ≠ y và bình đẳng nên ta giả sử x < y thì 1/x > 1/y . Ta có: 1/x < 3/10
    Mặt khác theo tính chất của trung bình cộng ta có:
    ( 1/x + 1/y) : 2 < 1/x
    nên 3/10 : 2 < 1/x , 3/20 < 1/x < 3/10
    Vậy: 3/20 < 3/(3.x) < 3/10 . Ta có:
    3.x = 12, 15, 18 suy ra x = 4, 5, 6.
    Thử các giá trị của x thì chỉ có x = 4, x = 5 thỏa mãn.
    Vậy bài toán chỉ đúng hai cách tách như trên.

    Bài toán 3:
    Chứng minh với mọi số tự nhiên nn>4 thì1/ 4n bằng tổng 3 phân số 
    Lời giải:
    -Nếu n=3k.Khi đó 1/4n=1/n+3/n=1/(n+1)+1/(n(n+1))+3/n=1/(3k+1)+1/(3k(3k+1))+1/k
    -Nếu n=3k+2.Khi đó 1/4n=3/n+1/n=3/(n+1)+3/(n(n+1))+1/n=1/(k+1)+1/((3k+2)(k+1))+1/(3k+2)
    -Nếu n=3k+1.Khi đó :1/4n=3/n+1/n=3/(n1)3/(n(n1))+1/n=1/(k1)-1/((3k+1)k)+1/(3k+1)
        =1/(k+1)+1/((3k+1)k)+1/(3k+1)
    Lời bàn: Như vậy cách làm như TTT 16 chỉ áp dụng được khi tách một phân số a/b thành tổng hai phân số có tử số là 1 và mẫu số không lớn hơn mẫu số của phân số ban đầu. Đúng là học một ... biết mười. Nhưng biết mười quả thực vẫn chưa đủ ... phải không các bạn?


    Nhắn tin cho tác giả
    Nguyễn Quang Quý @ 23:56 08/02/2013
    Số lượt xem: 7732
    Số lượt thích: 0 người
     
    Gửi ý kiến